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F I C H E 1 8 – S y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s
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L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S
) admet pour base :
V 1 e
λ 1 t
,. . . ,V p e
λ p t
.
III Résolution de (S)
• Par réduction de A
On a A = P R P
−1 où R est diagonale ou triangulaire.
Si l'on pose Y (t) = P
−1 X (t) et C(t) = P
−1 B(t), le système s'écrit :
Y
(t) = RY (t) + C(t) .
On résout ce système réduit et on en déduit X (t) = PY (t).
Si B(t) /
= 0, cette méthode nécessite le calcul de P
−1 et peut être pénible.
• Par la méthode de « variation des constantes »
Si
C 1 (t),. . . ,C p (t)
est une base de l'espace vectoriel des solutions de (S
), on
peut poser X (t) =
p
i=1
u i (t) C i (t) où les u i sont des fonctions de classe C
1 de I
dans R.
• Par la recherche d'intégrales premières indépendantes
Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p
telle que
p
i=1
α i L i = 0 .
En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de
X
− λX = (A − λI p )X + B
on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y =
p
i=1
α i x i .
Si A est diagonalisable, on obtient ainsi p combinaisons linéaires en x i , d'où l'on
déduit les x i .