102 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Résolvez le système différentiel :
(S)
x
= 5x − 2y + e
t
(1)
y
= −x + 6y + t (2)
S o l u t i o n
• Utilisation d'une équation du second ordre (n = 2 seulement)
En dérivant (1) par rapport à t, on obtient :
x
= 5x
− 2y
+ e
t
= 5x
+ 2x − 12
x
− 5x − e
t
−2
− 2t + e
t
soit :
x
− 11x
+ 28x = −5 e
t
− 2t .
La résolution de cette équation différentielle donne :
x(t) = 2K 1 e
4t
+ K 2 e
7t
−
5
18
e
t
−
1
14
t −
11
392
·
En reportant dans l'équation (1), on obtient alors :
y(t) = K 1 e
4t
− K 2 e
7t
−
1
18
e
t
−
5
28
t −
27
784
·
• Écriture matricielle et éléments propres
(S) s'écrit sous forme matricielle X
(t) = A X (t) + B(t) avec
A =
5 −2
−1 6
; X (t) =
x(t)
y(t)
et B(t) =
e
t
t
.
Les valeurs propres de A sont λ 1 = 4 et λ 2 = 7, et les espaces propres associés
Vect(V 1 ) et Vect(V 2 ) avec V 1 =
2
1
et V 2 =
1
−1
.
• Recherche d'intégrales premières indépendantes (n = 2 conseillé)
Avec λ 1 = 4 :
x
− 4x = x − 2y + e
t
y
− 4y = −x + 2y + t
⇒ (x + y)
− 4(x + y) = e
t
+ t .
Avec λ 2 = 7 :
x
− 7x = −2x − 2y + e
t
y
− 7y =
−x − y + t
⇒ (x − 2y)
− 7(x − 2y) = e
t
− 2t .