103
F I C H E 1 8 – S y s t è m e s d i f f é r e n t i e l s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
8
Ces deux équations différentielles permettent de calculer x + y et x − 2y ; puis on en
déduit x et y.
• Variation des constantes
La solution générale du système homogène X
(t) = A X (t) s'écrit :
X = K 1 e
4t V 1 + K 2 e
7t V 2 avec (K 1 ,K 2 ) ∈ R
2 .
Pour résoudre (S), on peut introduire deux fonctions u et v, de classe C
1 , telles que
x(t)
y(t)
= u(t) e
4t
2
1
+ v(t) e
7t
1
−1
soit solution de (S).
En reportant, et en simplifiant, on obtient :
u
(t) =
1
3
e
−3t
+
t
3
e
−4t
; v
(t) =
1
3
e
−6t
−
2
3
t e
−7t .
Par calcul de primitives, on obtient u(t) et v(t), puis x(t) et y(t).
• Diagonalisation de A
Avec la matrice de passage P =
2 1
1 −1
et P
−1
=
1
3
1 1
1 −2
, on peut écrire :
P
−1 AP = D =
4 0
0 7
.
En posant X (t) = PU (t) avec U (t) =
u(t)
v(t)
le système (S) devient
U
(t) = DU (t) + P
−1 B(t) ce qui s'écrit :

 
 
u
(t) = 4u(t) +
1
3
(e
t
+ t)
v
(t) = 7v(t) +
1
3
(e
t
− 2t).
Il s'agit de deux équations différentielles linéaires du premier ordre.
Leur résolution et le report du résultat dans X (t) = PU (t) donne à nouveau x(t)
et y(t).