104 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Séries numériques
I Définitions
et premières propriétés
• Convergence
Soit (u n ) une suite de nombres réels ou complexes.
– On dit que la série
u n (ou encore la série de terme général u n ) est convergente
si la suite (S N ) de terme général :
S N =
N
n=0
u n = u 0 + u 1 + · · · + u N
tend vers une limite finie S. On note S la somme de la série :
S =
+∞
n=0
u n = lim
N →+∞
N
n=0
u n
= lim
N →+∞
(S N ) .
S N est appelée somme partielle d'ordre N.
La différence R N = S − S N =
+∞
n=N +1
u n est le reste d'ordre N. C'est l'erreur
commise en remplaçant S par sa valeur approchée S N .
– Si la série
u n n'est pas convergente, on dit qu'elle est divergente.
Étudier la nature d'une série, c'est préciser si elle est convergente ou divergente.
Si le terme général u n ne tend pas vers 0, alors la série
u n diverge.
• Condition nécessaire de convergence
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0.
• Espace vectoriel des séries convergentes
Si
u n et
v n convergent et ont pour sommes respectives U et V alors, pour
tous nombres, réels ou complexes, a et b, la série
(au n + bv n ) est convergente
et a pour somme aU + bV.
FICHE 19