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F I C H E 1 9 – S é r i e s n u m é r i q u e s
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• Convergence absolue
La série
u n est dite absolument convergente, si la série
|u n | est convergente.
Si une série de nombres, réels ou complexes, est absolument convergente, alors elle
est convergente. Mais la réciproque est fausse.
II Séries à termes positifs
• Caractérisation
Pour qu'une série de termes réels positifs converge, il faut et il suffit que la suite
des sommes partielles soit majorée.
• Comparaison de deux séries
– Théorème de comparaison
Soit
u n et
v n deux séries telles que 0 u n v n à partir d'un certain rang.
Si
v n converge, alors
u n converge.
Si
u n diverge, alors
v n diverge.
– Utilisation d'équivalents
Soit
u n et
v n deux séries à termes > 0 telles que u n ∼
+∞
v n .
Les deux séries sont alors de même nature, c'est-à-dire qu'elles sont convergentes
ou divergentes en même temps.
– Règle de d'Alembert
Soit
u n une série à termes strictement positifs telle que
u n+1
u n
admette une
limite l quand n tend vers +∞ .
Si l < 1, la série converge ; si l > 1, la série diverge.
• Comparaison d'une série à une intégrale
Soit f : [0,+∞[−→ R + une fonction continue, positive et décroissante.
La série
+∞
n=0
f (n) et l'intégrale généralisée
+∞
0
f (x) dx sont de même nature.