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III Séries de référence
• Séries géométriques
La série de terme général (réel ou complexe) u n = aq
n est convergente (absolument) si, et seulement si, |q| < 1 et on a alors :
+∞
n=0
aq
n
= a
1
1 − q
·
• Séries de Riemann
+∞
n=1
1
n α converge ⇐⇒ α > 1.
En particulier, la série divergente
1
n
est appelée série harmonique.
• Série exponentielle
La série de terme général
z
n
n!
est absolument convergente et l'on a :
+∞
n=0
z
n
n!
= e
z
(z ∈ C).
IV Séries alternées
• Définition
Une série
u n à termes réels est alternée si son terme général change de signe
alternativement.
Si u 0 0, on a donc u n = (−1)
n a n où a n = |u n |.
• Critère spécial des séries alternées
– Théorème
Si la suite de termes positifs (a n ) est décroissante et converge vers 0, alors la
série alternée
+∞
n=0
(−1)
n a n est convergente.
– Majoration du reste
Dans les hypothèses du critère spécial des séries alternées, les suites
S 2n
et
S 2n+1
sont adjacentes.
Le reste R N =
+∞
n=N +1
(−1)
n a n est du signe de (−1)
N +1 et vérifie :
|R N | a N +1 .