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F I C H E 1 9 – S é r i e s n u m é r i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Déterminez la nature de la série de terme général u n = ln
ch π
n
cos π
n
.
S o l u t i o n
Pour n 3, on a ch
π
n
> 1 et 0 < cos
π
n
< 1, ce qui entraîne u n > 0.
Lorsque n tend vers +∞ , on a :
u n = ln
1+ π
2
2n
2 +o
1
n
2
1− π
2
2n
2 +o
1
n
2
= ln
1 +
π
2
n 2 + o
1
n 2
∼
+∞
π
2
n 2 ·
La série à termes positifs
u n est de même nature que
1
n 2 qui est une série de
Riemann convergente.
A p p l i c a t i o n
Déterminez la nature de la série de terme général u n =
n
ln n
n!
S o l u t i o n
La série est à termes positifs. Pour étudier sa nature, on peut utiliser la règle de
d'Alembert. On a :
u n+1
u n
=
1
n + 1
e
ln
2 (n+1)−ln
2 n .
Comme
ln
2
(n + 1) − ln
2 n =
ln (n + 1) + ln n
ln (n + 1) − ln n
= ln (n
2
+ n)ln
1 +
1
n
∼
+∞
2
n
ln n
on en déduit lim
n→∞
e
ln
2 (n+1)−ln
2 n
= 1 , puis lim
n→∞
u n+1
u n
= 0 < 1 .
D'après la règle de d'Alembert, la série
u n est donc convergente.