108 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Pour s > 1, on pose ζ(s) =
+∞
n=1
1
n s
. Calculez lim
s→1 +
(s − 1)ζ(s) .
S o l u t i o n
Soit s > 1 fixé. La fonction f définie sur ]0,+∞[ par f (x) =
1
x s est décroissante ;
d'où :
n+1
n
1
x s dx
1
n s
n
n−1
1
x s dx ;
puis en additionnant :
N +1
1
1
x s dx
N
n=1
1
n
s
1 +
N
1
1
x s dx
c'est-à-dire :
(N + 1)
1−s
− 1
1 − s
N
n=1
1
n s 1 +
N
1−s
− 1
1 − s
En faisant tendre N vers +∞ et en multipliant par s − 1 > 0 , on obtient :
1 (s − 1) ζ(s) s.
D'après le théorème d'encadrement, on a donc :
lim
s→1 +
(s − 1) ζ(s) = 1 .