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F I C H E 1 9 – S é r i e s n u m é r i q u e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
On considère les suites (u n ) et (v n ) définies pour n 2 par :
u n =
(−1)
n
√
n
et v n =
(−1)
n
√
n + (−1) n
Montrez que u n ∼
+∞
v n .
Quelle est la nature des séries
u n et
v n ?
S o l u t i o n
• Comme lim
n→+∞
u n
v n
= lim
n→+∞
1 +
(−1)
n
√
n
= 1 , on a bien l'équivalence
u n ∼
+∞
v n .
• Comme la suite
1
√
n
est décroissante et converge vers 0, la série
u n est convergente d'après le critère spécial des séries alternées.
• On peut écrire :
v n =
(−1)
n
√
n
1
1 +
(−1)
n
√
n
=
(−1)
n
√
n
1 +
(−1)
n
√
n
+ o
1
√
n
= u n +
1
n
+ o
1
n
La série
1
n
+ o
1
n
, de même nature que la série à termes positifs
1
n
, est
divergente.
La série
v n étant la somme d'une série convergente et d'une série divergente est
donc divergente.
Cet exercice montre que l'équivalence u n ∼
+∞
v n n'entraîne pas que les séries
u n et
v n sont de même nature lorsque u n et v n ne sont pas de signe constant à partir d'un
certain rang.
Vous pouvez aussi remarquer que la série de terme général v n est alternée et ne vérifie
pas les hypothèses du critère spécial puisque |v n | =
1
√
n + (−1) n n'est pas décroissante.