110 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Suites de fonctions
I Convergences
( f n ) désigne une suite de fonctions f n définies sur un intervalle I de R et à valeurs
dans K = R ou C.
• Convergence simple
La suite ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f, de I dans K, si :
∀x ∈ I
lim
n→+∞
f n (x) = f (x) .
• Convergence uniforme
f étant la limite simple de la suite ( f n ) , on dit que la convergence de ( f n ) vers f est
uniforme sur I si :
lim
n→+∞
f n − f ∞ = 0
où f n − f ∞ = sup
x∈I
| f n (x) − f (x)| .
Le nombre f n − f ∞ se calcule souvent avec l'étude des variations de la fonction f n − f.
Quand ce calcul est trop difficile, cherchez à minorer ou à majorer.
La convergence uniforme de ( f n ) vers f entraîne la convergence simple.
La réciproque est fausse.
II Propriétés
• Continuité de la limite
Si la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur I , et si chaque f n est continue sur
I , alors f est continue sur I .
Si les f n sont continues sur I , et si f n'est pas continue sur I , alors la convergence n'est
pas uniforme.
FICHE 20