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F I C H E 2 0 – S u i t e s d e f o n c t i o n s
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Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans I , pour que
f soit continue sur I .
• Intégration de la limite
Si la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur I , et si chaque f n est continue sur
I , alors pour tous a et b dans I , on a :
b
a
f (t)dt = lim
n→+∞
b
a
f n (t)dt .
Si cette égalité n'a pas lieu, alors la convergence n'est pas uniforme.
• Dérivation de la limite
Soit ( f n ) une suite de fonctions de classe C
1 dans I , convergeant en un point a ∈ I.
Si la suite des dérivées ( f
n ) converge uniformément sur I , alors la suite ( f n )
converge simplement vers une fonction f de classe C
1 dans I qui vérifie :
∀x ∈ I
f
(x) = lim
n→+∞
f
n (x) .
• Théorème de la convergence dominée
Soit ( f n ) une suite de fonctions continues par morceaux sur I .
Si ( f n ) converge simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur
I , et s'il existe une fonction ϕ continue par morceaux sur I , positive et intégrable
sur I , telle que pour tout entier n, on ait | f n | ϕ (hypothèse de domination), alors
les fonctions f n et f sont sommables sur I et
I
f = lim
n
I
f n .