112 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Pour n ∈ N
∗ , on note f n la fonction définie sur [0,1] par :



f n (x) = n
2 x (1 − nx) si 0 x
1
n
f n (x) = 0
s i
1
n
x 1
1. Montrez que ( f n ) converge simplement sur [0,1] vers une fonction f à déterminer.
2. Montrez que la convergence de ( f n ) vers f n'est pas uniforme sur [0,1].
S o l u t i o n
1. Pour tout x fixé dans ]0,1], on a f n (x) = 0 dès que n vérifie n >
1
x
; et par conséquent lim
n→+∞
f n (x) = 0 .
Pour x = 0, on a toujours f n (0) = 0, d'où lim
n→+∞
f n (0) = 0 .
La suite ( f n ) converge donc simplement sur [0,1] vers la fonction nulle f = 0.
2. Étudions les variations de la fonction f n − f = f n .
Si 0 < x <
1
n
on a f
n (x) = n
2
(1 − 2nx) et on obtient le tableau de variation :
x
0
1
2n
1
n
1
n
4
f n
0
0
−→
0
On a donc f n − f = sup
x∈[0,1]
| f n (x) − f (x)| =
n
4
·
Comme f n − f ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini, la convergence de ( f n )
vers f n'est pas uniforme sur [0,1].