A p p l i c a t i o n
On considère la suite de fonctions f n de R dans R définies par :



f n (x) = x
2 sin
1
nx
si x = / 0
f n (0) = 0
Étudiez
1. la convergence simple de ( f n ) sur R ;
2. la convergence uniforme de ( f n ) sur un intervalle [a,b] ;
3. la convergence uniforme de ( f n ) sur R.
S o l u t i o n
1. Rappelons que, pour tout réel u, on a | sin u| |u|. On a donc :
∀x ∈ R
| f n (x)|
|x|
n
·
On en déduit que lim
n→+∞
f n (x) = 0 pour tout x ∈ R, c'est-à-dire que la suite ( f n )
converge simplement sur R vers la fonction nulle f = 0.
2. Un intervalle [a,b] étant donné, on peut poser M = max
|a|,|b|
et la majoration
de la question précédente donne :
∀x ∈ [a,b]
| f n (x)|
M
n
soit f n − f
[a,b]
∞
M
n
· On a donc lim
n→+∞
f n − f
[a,b]
∞ = 0 , ce qui prouve la
convergence uniforme de ( f n ) vers f sur [a,b].
3. On a f n − f
R
∞ | f n (n)| par définition d'une borne supérieure.
Comme f n (n) = n
2 sin
1
n 2
∼
+∞
n
2
×
1
n 2 = 1 tend vers 1 quand n tend vers l'infini,
la convergence de ( f n ) vers f n'est pas uniforme sur R.
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F I C H E 2 0 – S u i t e s d e f o n c t i o n s
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