114 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Séries de fonctions
I Convergences
Soit (u n ) une suite de fonctions définies sur un intervalle I . On considère les sommes
partielles définies par :
S N (x) =
N
n=0
u n (x) .
• Convergence simple
On dit que la série
n
u n converge simplement sur I si la suite (S N ) converge simplement et on note :
S(x) =
+∞
n=0
u n (x) = lim
N →+∞
S N (x) .
• Convergence uniforme
On dit que la série
n
u n converge uniformément sur I si la suite (S n ) converge
uniformément sur I .
• Convergence normale
Définition
On dit que la série
n
u n converge normalement sur I si la série des normes
n
u n ∞ converge.
Condition nécessaire et suffisante
La série
n
u n converge normalement sur I si, et seulement si, il existe une série
numérique à termes positifs a n telle que :
∀ n ∈ N ∀ x ∈ I |u n (x)| a n et
+∞
n=0
a n convergente.
FICHE 21