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F I C H E 2 1 – S é r i e s d e f o n c t i o n s
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Théorème
La convergence normale de
n
u n entraîne la convergence uniforme de
n
u n et,
pour tout x ∈ I, la convergence absolue de
n
u n (x) .
La recherche de a n peut se faire par majoration ou en étudiant les variations de u n .
Si vous êtes optimiste, pour étudier le mode de convergence d'une série de fonctions,
commencez par la convergence normale sur I , ou sur tout segment de I .
C'est souvent facile à faire, et, si ça marche, c'est un mode de convergence qui entraîne
tous les autres.
II Propriétés
Pour une série
n
u n qui converge uniformément (normalement entraîne cette condition) sur I , les théorèmes sur les suites de fonctions conduisent à :
• Continuité
Si les fonctions u n sont continues sur I , alors la somme S est continue sur I .
• Intégration
Si les fonctions u n sont continues dans I et si
n
u n converge uniformément sur I ,
alors, pour tous a et b dans I , on a :
b
a
+∞
n=0
u n (x)
dx =
+∞
n=0
b
a
u n (x) dx
• Dérivation
Si les fonctions u n sont de classe C
1 sur I , s'il existe a ∈ I tel que
u n (a)
converge, et si
n
u
n converge uniformément, alors la somme S est de classe C
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sur I et vérifie :
∀x ∈ I
S
(x) =
+∞
k=0
u
k (x) .