A p p l i c a t i o n
Pour tout n ∈ N et x ∈ R, on pose u n (x) =
(−1)
n
2 2n cos 2nx.
1. Montrez que la série
+∞
n=0
u n (x) est normalement convergente sur R.
2. Calculez sa somme.
S o l u t i o n
1. Pour tout n ∈ N et x ∈ R, on a : |u n (x)|
1
2 2n
.
La série numérique
+∞
n=0
1
2 2n =
+∞
n=0
1
4
n
est une série géométrique convergente. La
série
+∞
n=0
u n (x) est donc normalement convergente sur R.
2. Posons S(x) =
+∞
n=0
u n (x) . On a :
u n (x) = Re
(−1)
n
2 2n e
2inx
= Re
−e
2ix
4
n
.
Dans C , la série géométrique
+∞
n=0
−e
2ix
4
n
est convergente puisque
−e
2ix
4
=
1
4
< 1 et a pour somme
1
1 +
e
i2x
4
. On a donc :
S(x) = Re
1
1 +
e
i2x
4
= Re
4
(4 + cos 2x) + i sin 2x
=
16 + 4 cos 2x
17 + 8 cos 2x
.
A p p l i c a t i o n
Pour tout n ∈ N et x ∈ R, on pose u n (x) =
sin x
2
ch nx
.
1. Montrez que la série
+∞
n=0
u n (x) converge simplement sur R.
2. Montrez que cette série converge normalement sur [a,+∞[ pour tout réel a > 0.
3. Montrez que sa somme est continue sur R.
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