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F I C H E 2 1 – S é r i e s d e f o n c t i o n s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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S o l u t i o n
1. Comme toutes les fonctions u n sont paires, on peut limiter l'étude de la convergence simple à x 0.
Pour x = 0, on a u n (0) = 0 pour tout n et la série converge.
Pour x > 0, on choisit la majoration :
|u n (x)|
1
ch nx
2
e nx
.
La série géométrique de terme général
1
e nx = (e
−x
)
n est convergente puisque
0 < e
−x
< 1 pour x > 0.
La série
+∞
n=0
u n (x) est donc absolument convergente pour tout x réel.
Notons S(x) sa somme.
2. Soit a > 0. Pour tout x a, on a |u n (x)|
2
e na
.
La série numérique
+∞
n=0
1
e na est une série géométrique convergente.
La série
+∞
n=0
u n (x) est donc normalement convergente sur [a,+∞[.
3. Comme toutes les fonctions u n sont continues, la question précédente entraîne que
la somme S est continue sur [a,+∞[ pour tout a > 0.
Du fait de la parité des u n , on a donc la continuité de S sur R
∗ .
Il reste à étudier la continuité de S en 0.
En utilisant la majoration | sin u| |u|, on obtient pour x > 0 :
0 |u n (x)|
2x
2
e nx
.
Comme
+∞
n=0
1
e nx =
1
1 − e −x on obtient donc :
0 |S(x)|
+∞
n=0
|u n (x)|
2x
2
1 − e −x
.
On a 1 − e
−x
∼
0
x, ce qui entraîne lim
x→0 +
2x
2
1 − e −x = 0 et par conséquent
lim
x→0 +
S(x) = 0 . Par suite de la parité, on obtient de même lim
x→0 −
S(x) = 0 .
On a donc lim
x→0
S(x) = 0 = S(0) et la fonction S est continue en 0.