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Séries entières
I Convergence d’une série entière
• Série entière
Une série entière est une série de fonctions de la forme :
+∞
n=0
u n (z)
avec u n (z) = a n z
n
où z est la variable réelle ou complexe et les a n des constantes réelles ou complexes.
• Lemme d'Abel
Si la suite
|a n | r
n
est bornée, alors la série
+∞
n=0
a n z
n converge absolument pour
tout z tel que |z| < r.
• Rayon de convergence
Une série entière vérifie une, et une seule, des trois propriétés :
– la série converge uniquement pour z = 0 (on pose R = 0) ;
– il existe un nombre réel R > 0 tel que la série converge absolument pour tout z
tel que |z| < R, et diverge pour tout z tel que |z| > R ;
– la série converge absolument pour tout z (on pose R = +∞).
• Détermination du rayon de convergence
– Le nombre R est la borne supérieure des ensembles :
{r ∈ R + ;
+∞
n=0
a n r
n converge} ; {r ∈ R + ; |a n | r
n borné}.
– On détermine souvent R à partir de la règle de d'Alembert.
Si lim
n→+∞
|u n+1 (z)|
|u n (z)|
= l|z|
k , en écrivant : l|z|
k
< 1 ⇐⇒ |z| <
k
1
l
on obtient R =
k
1
l
.
FICHE 22