• Mode de convergence
– La série
+∞
n=0
a n z
n de rayon de convergence R converge absolument dans l'intervalle (ouvert) de convergence ] − R,R[ dans le cas réel ; dans le disque (ouvert)
de convergence B(0,R) dans le cas complexe.
Pour |z| > R, la série diverge.
Si |z| = R, il n'y a pas de résultat général.
– La convergence est normale, donc uniforme, sur tout compact inclus dans le
disque (ou l'intervalle) de convergence.
• Combinaison linéaire
Soit
+∞
n=0
a n z
n et
+∞
n=0
b n z
n deux séries entières, de rayons de convergence respectifs
R 1 et R 2 , et de sommes respectives f (z) et g(z).
Pour tous α ∈ R et β ∈ R, la série entière
+∞
n=0
(α a n + β b n ) z
n a pour somme
α f (z) + βg(z) ; son rayon de convergence R est tel que :
R = min(R 1 ,R 2 ) si R 1 = / R 2
R R 1
si R 1 = R 2 .
II Série entière d'une variable réelle
• Dérivation
Si la série entière f (x) =
+∞
n=0
a n x
n a pour rayon de convergence R = / 0, alors f est
dérivable sur ] − R,R[ et l'on a :
f
(x) =
+∞
n=1
n a n x
n−1 .
Il en résulte que f est indéfiniment dérivable sur ] − R,R[ .
• Intégration
Si la série entière f (x) =
+∞
n=0
a n x
n a pour rayon de convergence R = / 0, pour tout
x ∈] − R,R[ on a :
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F I C H E 2 2 – S é r i e s e n t i è r e s
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