120 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
x
0
f (t) dt =
+∞
n=0
a n
x
n+1
n + 1
·
La série entière ainsi obtenue par intégration terme à terme a le même rayon de
convergence que la série initiale.
III Développement d'une fonction
en série entière
• Condition nécessaire
Si f (x) =
+∞
n=0
a n x
n , alors f est indéfiniment dérivable et a n =
f
(n)
(0)
n!
·
Donc, si le développement en série entière de f existe, il est unique.
• Condition suffisante
Si f est indéfiniment dérivable sur I =] − R,R[ et s'il existe une constante M > 0
telle que :
∀n ∈ N ∀x ∈ I
| f
(n)
(x)| M
alors f est développable en série entière.
• Développements de base
e
x
=
+∞
n=0
x
n
n!
R = +∞
cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
R = +∞
ch x =
+∞
n=0
x
2n
(2n)!
R = +∞ sin x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
R = +∞
sh x =
+∞
n=0
x
2n+1
(2n + 1)!
R = +∞
1
1 − x
=
+∞
n=0
x
n
R = 1
ln (1 + x) =
+∞
n=0
(−1)
n x
n+1
n + 1
R = 1
arctan x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
R = 1