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F I C H E 2 2 – S é r i e s e n t i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Déterminez le rayon de convergence de la série entière
∞
n=1
a n x
2n où :
a n =
ch n
sh
2 n
·
S o l u t i o n
Pour déterminer le rayon de convergence avec la règle de d'Alembert, calculons
d'abord un équivalent plus simple de a n quand n tend vers l'infini.
On a : a n =
2(e
n
+ e
−n
)
(e n − e −n ) 2 ∼
+∞
2
e n ·
On en déduit :
lim
n→∞
|u n+1 (x)|
|u n (x)|
= lim
n→∞
2
e n+1
e
n
2
|x|
2
=
1
e
|x|
2 .
On a :
1
e
|x|
2
< 1 ⇐⇒ |x| <
√
e .
La série entière de l'énoncé a donc pour rayon de convergence R =
√
e.
A p p l i c a t i o n
Étudiez la convergence (rayon de convergence et étude aux bornes), et déterminez la
somme S(x) , de la série entière :
∞
n=1
x
2n+1
4n 2 − 1
·
S o l u t i o n
• Le rayon de convergence R = 1 s'obtient avec la règle de d'Alembert car :
lim
n→∞
|u n+1 (x)|
|u n (x)|
= lim
n→∞
4n
2
− 1
4(n + 1) 2 − 1
|x|
2
= |x|
2 .
• On a : |u n (1)| = |u n (−1)| =
1
4n 2 − 1
∼
+∞
1
2
1
n 2 ·