122 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Comme la série de Riemann
∞
n=1
1
n 2 converge, la série entière proposée est normalement convergente sur [−1,1].
• En décomposant en éléments simples, on obtient :
1
4n 2 − 1
=
1
2
1
2n − 1
−
1
2n + 1
ce qui conduit à décomposer la somme S(x) cherchée avec deux séries entières dont
le rayon de convergence est 1 :
S(x) =
1
2
∞
n=1
(−1)
n x
2n+1
2n − 1
−
1
2
∞
n=1
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
·
Sachant que
∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
= arctan x , on en déduit :
S(x) =
1
2
− x
2 arctan x − (arctan x − x)
=
1
2
x − (1 + x
2
) arctan x
.
A p p l i c a t i o n
Étudiez la convergence (rayon de convergence et étude aux bornes), et déterminez la
somme S(x) , de la série entière :
∞
n=1
(−1)
n x
4n−1
4n − 1
·
S o l u t i o n
• Le rayon de convergence R = 1 s'obtient avec la règle de d'Alembert car :
lim
n→∞
|u n+1 (x)|
|u n (x)|
= lim
n→∞
4n − 1
4n + 3
|x|
4
= |x|
4 .
• Aux bornes on a : u n (−1) ∼
+∞
−
1
4n
et u n (1) ∼
+∞
1
4n
· Dans les deux cas, la série
diverge.
• Pour x ∈] − 1; 1[ il reste à calculer S(x) =
∞
n=1
x
4n−1
4n − 1
·
Sur ] − 1; 1[ on sait que S est dérivable et que :
S
(x) =
∞
n=1
x
4n−2
= x
2
1
1 − x 4 (série géométrique de raison x
4 ).