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F I C H E 2 2 – S é r i e s e n t i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
2
En décomposant en éléments simples, on obtient :
x
2
1 − x 4 =
1
4
1
1 − x
+
1
4
1
1 + x
−
1
2
1
1 + x 2 ·
Comme de plus S(0) = 0, on obtient par calcul de primitives :
S(x) =
1
4
ln
1 + x
1 − x
−
1
2
arctan x .
A p p l i c a t i o n
Développez en série entière la fonction définie par f (x) = ln(1 + x − 2x
2
) . Étudiez
la validité aux bornes.
S o l u t i o n
Comme 1 + x − 2x
2
= (1 − x)(1 + 2x) la fonction f est définie sur ] −
1
2
; 1[. On
peut donc parier que le développement en série entière aura
1
2
pour rayon de convergence, qu'il sera convergent en x =
1
2
et divergent en x = −
1
2
·
Sur
−
1
2
; 1
on peut écrire f (x) sous la forme :
f (x) = ln(1 − x) + ln(1 + 2x).
Avec les développements usuels on peut écrire :
ln(1 − x) = −
∞
n=1
x
n
n
pour x ∈ [−1; 1[ ;
ln(1 + 2x) = −
∞
n=1
(−2x)
n
n
pour x ∈] −
1
2
;
1
2
].
On obtient donc, avec un rayon de convergence et un comportement aux bornes
conformes aux prévisions :
f (x) =
∞
n=1
(−1)
n+1 2
n
− 1
n
x
n
pour x ∈] −
1
2
;
1
2
].
On peut aussi calculer d'abord f
(x) , décomposer en éléments simples, les développer,
puis intégrer.