124 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Séries de Fourier
I Série de Fourier d'une fonction
Soit f est une fonction T-périodique (T > 0), continue par morceaux sur [0,T ]. On
note ω =
2π
T
la pulsation, et α un réel quelconque.
• Coefficients de Fourier
Forme réelle (n ∈ N)
a n =
2
T
α+T
α
f (t) cos nωt dt ; b n =
2
T
α+T
α
f (t) sin nωt dt .
Forme complexe (n ∈ Z)
c n =
1
T
α+T
α
f (t)e
−inωt dt .
Passage des coefficients complexes aux coefficients réels
a n = c n + c −n
pour n 0
b n = i (c n − c −n ) pour n 1.
Passage des coefficients réels aux coefficients complexes
c 0 =
a 0
2
et pour n 1 : c n =
a n − i b n
2
; c −n =
a n + i b n
2
.
• Série de Fourier d'une fonction périodique
On associe à f une série qui, lorsqu'elle converge, définit une fonction S périodique
de période T.
Forme réelle
S(t) =
a 0
2
+
+∞
n=1
(a n cos nωt + b n sin nωt) .
Forme complexe
S(t) =
+∞
−∞
c n e
inωt .
FICHE 23