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F I C H E 2 3 – S é r i e d e F o u r i e r
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• Fonction C
1 par morceaux
On dit que f est C
1 par morceaux sur le segment [a,b] s'il existe une subdivision
a 0 = a < a 1 < · · · < a p = b telle que :
– f de classe C
1 dans chaque intervalle ]a i ,a i+1 [ (i = 0,. . . ,p − 1) ,
– f (t) et f
(t) possèdent une limite en chaque extrémité de ces intervalles, notées
f (a i − ), f (a i + ), f
(a i − ) et f
(a i + ).
• Propriétés
Parité
Si f est une fonction paire, pour tout n on a b n = 0, soit c n = c −n .
Si f est une fonction impaire, pour tout n on a a n = 0, soit c n = −c −n .
Coefficients de Fourier d'une dérivée
Si f est continue et C
1 par morceaux sur [0,T ], les coefficients de Fourier de f et f
sont reliés par :
Forme complexe :
∀ n ∈ Z
c n ( f
) = i n ω c n ( f ) ;
Forme réelle :
∀n ∈ N
∗
a n ( f
) = n ω b n ( f ) et b n ( f
) = −n ω a n ( f ) .
II Convergence de la série de Fourier
d'une fonction
• Théorème de Dirichlet
Si f est T-périodique et C
1 par morceaux sur [0,T ], alors la série de Fourier de f
est convergente et sa somme S vérifie :
∀ t ∈ R
S(t) =
f (t − ) + f (t + )
2
.
De plus, la convergence est normale (donc uniforme) sur tout segment où la fonction
est continue, ou sur R si f est continue sur R.
Remarquez que si f est continue en un point t 0 , alors S(t 0 ) = f (t 0 ) .
• Formule de Parseval
Si f est continue par morceaux sur un segment de longueur T on a :
1
T
α+T
α
[ f (t)]
2 dt =
a 0
2
2 +
1
2
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
=
+∞
−∞
|c n |
2 .