126 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Montrez que : | sin x| = λ
+∞
n=1
sin
2 nx
4n 2 − 1
où λ est un coefficient à déterminer.
S o l u t i o n
La fonction définie par f (x) = | sin x| est périodique de période T = π, continue et
C
1 par morceaux sur R. Elle est donc développable en série de Fourier sur R (et la
convergence est normale).
Déterminons les coefficients sous la forme réelle car, la fonction f étant paire, on a
b n = 0 pour tout n.
a n =
2
π
π
0
sin t cos (2nt) dt
car ω =
2π
T
= 2
=
1
π
π
0
sin (2n + 1) t − sin (2n − 1)t
dt
car sin a cos b =
1
2
sin (a + b) + sin (a − b)
=
1
π
−
cos (2n + 1)t
2n + 1
+
cos (2n − 1)t
2n − 1
π
0
=
1
π
−
(−1)
2n+1
− 1
2n + 1
+
(−1)
2n−1
− 1
2n − 1
=
2
π
1
2n + 1
−
1
2n − 1
=
−4
π(4n 2 − 1)
et a 0 =
4
π
·
D'après le théorème de Dirichlet, on a donc pour tout x réel :
| sin x| =
2
π
−
4
π
∞
n=1
cos 2nx
4n 2 − 1
=
2
π
−
4
π
+∞
n=1
1
4n 2 − 1
+
8
π
+∞
n=1
sin
2 nx
4n 2 − 1
On utilise la formule cos 2a = 1 − 2 sin
2 a et on décompose la série de Fourier en
somme de deux séries convergentes car la première de ces séries est convergente.
En évaluant les deux membres de l'égalité ci-dessus en x = 0, on déduit :
| sin x| =
8
π
+∞
n=1
sin
2 nx
4n 2 − 1
soit λ =
8
π
.