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F I C H E 2 3 – S é r i e d e F o u r i e r
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Soit f une fonction de classe C
1 , 2π-périodique, et telle que
2π
0
f (t) dt = 0 .
Montrez que :
2π
0
f
2
(t) dt
2π
0
f
2
(t) dt .
Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
S o l u t i o n
Notons a n ( f ) et b n ( f ) les coefficients de Fourier réels de la fonction f et a n ( f
)
et b n ( f
) ceux de la fonction f
.
La fonction f étant de classe C
1 , on peut appliquer la formule de Parseval aussi bien
à f qu'à f
.
On a toujours a 0 ( f
) = 0 et, ici, on a fait l'hypothèse que a 0 ( f ) = 0. On a donc, en
utilisant les relations entre les coefficients de Fourier d'une fonction et de sa dérivée :
1
π
2π
0
f
2
(t) dt =
∞
n=1
a
2
n ( f ) + b
2
n ( f )
1
π
2π
0
f
2
(t) dt =
∞
n=1
a
2
n ( f
) + b
2
n ( f
)
=
∞
n=1
n
2
a
2
n ( f ) + b
2
n ( f )
On en déduit :
2π
0
f
2
(t) dt
2π
0
f
2
(t) dt .
L'égalité dans cette inégalité signifie que
∞
n=2
(n
2
− 1)
a
2
n ( f ) + b
2
n ( f )
= 0 , c'est-àdire : a n ( f ) = b n ( f ) = 0 pour tout n 2.
Dans les hypothèses de l'exercice, la fonction f est égale à la somme de sa série de
Fourier. Il reste donc dans l'égalité résultant de l'application du théorème de Dirichlet :
f (t) = a 1 cos t + b 1 sin t .
Réciproquement, les fonctions de ce type conduisent à l'égalité dans l'inégalité de
l'énoncé.