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Topologie de R
n
I Norme sur un espace vectoriel
• Définition
On appelle norme sur un R-espace vectoriel E toute application N, de E dans R,
qui vérifie :
∀x ∈ E
N(x) 0 et N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ;
∀x ∈ E ∀λ ∈ R N (λ x) = |λ|N (x);
∀x ∈ E ∀y ∈ E N(x + y) N (x) + N (y) (inégalité triangulaire).
On emploie généralement la notation x pour N (x), qui rappelle l'analogie avec
la valeur absolue dans R ou le module dans C.
• Propriété
∀x ∈ E
∀y ∈ E
x − −y
x − y x + +y .
• Normes classiques
Sur R
n , on utilise indifféremment les trois normes classiques suivantes, définies
pour X = (x 1 ,. . . ,x n ) par :
X ∞ = sup{|x 1 |,. . . ,|x n |} ; X 1 =
n
i=1
|x i | ; X 2 =
n
i=1
x
2
i .
II Parties remarquables de R
n
• Boules
Dans R
n muni d'une norme, on appelle :
– boule ouverte de centre A ∈ R
n et de rayon r > 0 , l'ensemble :
B(A,r) = {X ∈ R
n
; ;X − A < r},
– boule fermée de centre A ∈ R
n et de rayon r > 0 , l'ensemble :
B
∗
(A,r) = {X ∈ R
n
; ;X − A r} .
FICHE 24