129
F I C H E 2 4 – To p o l o g i e d e R
n
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
2
4
• Parties bornées
Une partie D de R
n est bornée si l'ensemble des réels X − Y , où X et Y sont des
vecteurs quelconques de D, est borné.
D est bornée si, et seulement si, il existe une boule qui la contient.
• Parties ouvertes, parties fermées
– Soit D une partie et A un vecteur de R
n .
On dit que A est un point intérieur de D s'il existe une boule B(A,r), avec
r > 0 , contenue dans D.
On dit que A est un point frontière de D si toute boule B(A,r), avec r > 0 ,
contient au moins un vecteur de D et un vecteur qui n'appartient pas à D.
L'ensemble des points frontières de D est appelée la frontière de D.
On dit que A est un point adhérent à D si toute boule B(A,r), avec r > 0 ,
contient un point de D.
Les points adhérents à D sont les points de D et les points frontières de D.
– On dit qu'une partie de R
n est ouverte si elle ne contient aucun point de sa frontière, c'est-à-dire si elle est égale à l'ensemble de ses points intérieurs.
– On dit qu'une partie de R
n est fermée si elle contient tous les points de sa frontière.
– On dit qu'un point A de D est isolé si l'on peut trouver une boule de centre A ne
contenant pas d'autre point de D que A.