130 A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit B(a,r) une boule ouverte relative à une norme de R
n . Montrez que c'est une
partie convexe, c'est-à-dire que si x et y sont deux éléments quelconques de B(a,r) ,
le segment d'extrémités x et y est inclus dans B(a,r) .
S o l u t i o n
Le segment d'extrémités x et y est l'ensemble des éléments de R
n de la forme
z = t x + (1 − t)y avec t ∈ [0; 1].
On veut montrer que, si x − a < r et y − a < r, alors z − a < r .
On a : z − a = t (x − a) + (1 − t)(y − a).
D'après les propriétés d'une norme, on a donc :
z − a tx − a + (1 − t)y − a < tr + (1 − t)r soit z − a < r .
A p p l i c a t i o n
Dessinez les boules fermées de centre O et de rayon r relatives à chacune des trois
normes classiques de R
2 .
S o l u t i o n
• Soit B
∗
0 (O,r) la boule fermée de centre O et de rayon r relative à la norme
(x 1 ,x 2 ) ∞ = sup
|x 1 |,|x 2 |
.
On a alors :
(x,y) ∈ B
∗
0 (O,r) ⇐⇒ sup
|x|,|y|
r ⇐⇒ |x| r et |y| r .
B
∗
0 (O,r) est donc l'intersection des deux bandes définies par :
−r x r et −r y r.
• Soit B
∗
1 (O,r) la boule fermée de centre O et de rayon r relative à la norme
(x 1 ,x 2 ) 1 = |x 1 | + |x 2 |. On a alors :
(x,y) ∈ B
∗
1 (O,r) ⇐⇒ |x| + |y| r
Dans le premier quadrant, la condition s'écrit x + y r, ce qui est l'équation du demiplan limité par la droite x + y = r et contenant l'origine. On obtient ainsi un triangle.
Puis on complète par symétrie par rapport aux axes puisque la quantité |x| + |y| est
invariante quand on change x en −x ou y en −y.
A p p l i c a t i o n
Soit B(a,r) une boule ouverte relative à une norme de R
n . Montrez que c'est une
partie convexe, c'est-à-dire que si x et y sont deux éléments quelconques de B(a,r) ,
le segment d'extrémités x et y est inclus dans B(a,r) .
S o l u t i o n
Le segment d'extrémités x et y est l'ensemble des éléments de R
n de la forme
z = t x + (1 − t)y avec t ∈ [0; 1].
On veut montrer que, si x − a < r et y − a < r, alors z − a < r .
On a : z − a = t (x − a) + (1 − t)(y − a).
D'après les propriétés d'une norme, on a donc :
z − a tx − a + (1 − t)y − a < tr + (1 − t)r soit z − a < r .
A p p l i c a t i o n
Dessinez les boules fermées de centre O et de rayon r relatives à chacune des trois
normes classiques de R
2 .
S o l u t i o n
• Soit B
∗
0 (O,r) la boule fermée de centre O et de rayon r relative à la norme
(x 1 ,x 2 ) ∞ = sup
|x 1 |,|x 2 |
.
On a alors :
(x,y) ∈ B
∗
0 (O,r) ⇐⇒ sup
|x|,|y|
r ⇐⇒ |x| r et |y| r .
B
∗
0 (O,r) est donc l'intersection des deux bandes définies par :
−r x r et −r y r.
• Soit B
∗
1 (O,r) la boule fermée de centre O et de rayon r relative à la norme
(x 1 ,x 2 ) 1 = |x 1 | + |x 2 |. On a alors :
(x,y) ∈ B
∗
1 (O,r) ⇐⇒ |x| + |y| r
Dans le premier quadrant, la condition s'écrit x + y r, ce qui est l'équation du demiplan limité par la droite x + y = r et contenant l'origine. On obtient ainsi un triangle.
Puis on complète par symétrie par rapport aux axes puisque la quantité |x| + |y| est
invariante quand on change x en −x ou y en −y.