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F I C H E 1 4 – F o r m u l e s d e Ta y l o r
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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A p p l i c a t i o n
Soit f la fonction définie par :
f (x) = 2 + 3x + 4x
2
+ x
3 sin
1
x
pour x = / 0 ; f (0) = 2.
Montrez que f admet, au voisinage de 0, un développement limité d'ordre 2, et que,
pourtant, f
(0) n'existe pas.
S o l u t i o n
Puisque lim
x→0
x sin
1
x
= 0 , on peut écrire :
f (x) = 2 + 3x + 4x
2
+ o(x
2
),
ce qui, par définition, montre que f admet un développement limité d'ordre 2 au voisinage de 0.
Pour x = / 0, on a :
f
(x) = 3 + 8x + 3x
2 sin
1
x
− x cos
1
x
.
Pour x = 0, on a :
f
(0) = lim
x→0
f (x) − f (0)
x
= lim
x→0
3 + 4x + x
2 sin
1
x
= 3 .
Mais f
(0) n'existe pas, car le quotient :
f
(x) − f
(0)
x
= 8 + 3x sin
1
x
− cos
1
x
n'a pas de limite quand x tend vers 0, puisqu'un terme de la somme, et un seul, n'a pas
de limite.
On sait que, pour qu'une fonction admette un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, il est suffisant qu'elle soit n fois dérivable en 0. Cet exercice vous montre que
ce n'est pas nécessaire.