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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Soit une fonction de classe C
2 , de R dans ]0,+∞[, telle que | f
(x)| M pour tout
x. Montrez que :
∀(x,y) ∈ R
2
f (x) + y f
(x) +
y
2
2
M 0 .
S o l u t i o n
Appliquons l'inégalité de Taylor-Lagrange, à l'ordre 1, entre x et x + y :
| f (x + y) − f (x) − y f
(x)|
y
2
2
M .
On en déduit : f (x + y) f (x) + y f
(x) +
y
2
2
M
et comme f est à valeurs positives, on obtient l'inégalité demandée.
A p p l i c a t i o n
Calculez : lim
x→0
(1 + x)
1
x − e
x
·
S o l u t i o n
On a : (1 + x)
1
x = exp
1
x
ln(1 + x)
= exp
1
x
x −
x
2
2
+ o(x
2
)
= exp
1 −
x
2
+ o(x)
= e
1 −
x
2
+ o(x)
d'où :
(1 + x)
1
x − e
x
= −
e
2
+ o(1)
ce qui démontre que la limite demandée est égale à −
e
2
·