Composition
Si g ◦ f est définie au voisinage de 0 et si f (0) = 0, alors g ◦ f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière s'obtient en
remplaçant u dans B n (u) par A n (x) et en ne gardant que les monômes de degré
inférieur ou égal à n.
Primitive
Si f est continue sur un intervalle ouvert I contenant 0, une primitive F de f admet
le développement limité d'ordre n + 1, au voisinage de 0, obtenu par intégration
terme à terme de A n (x), le terme constant étant F(0).
Dérivée
Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n (n 2) sur un intervalle ouvert I contenant 0, la fonction f
admet un développement limité d'ordre n − 1 dont la partie
régulière s'obtient en dérivant terme à terme celle du développement limité de f.
III Applications des développements
limités
• Étude locale d'une fonction
Pour l'étude locale d'une fonction, ou pour la recherche d'une limite, on cherche un
développement limité comportant au moins un terme non nul.
• Étude des branches infinies
Soit f définie sur un intervalle ]A,+∞[ ou ] − ∞,A[. Quand x tend vers l'infini,
X =
1
x
tend vers 0, et, en remplaçant x par
1
X
, on est ramené au voisinage de 0.
Lorsque x et f (x) tendent vers l'infini, on obtient une asymptote oblique (si elle
existe) en effectuant le développement limité au voisinage de l'infini :
f (x)
x
= a +
b
x
+
c
x k + o
1
x k
où
c
x k est le premier terme non nul après
b
x
·
Dans ce cas, la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe représentative de f. Et la position relative de la courbe et de l'asymptote résulte du signe de
c
x k−1 lorsque x tend vers l'infini.
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