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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
e
x
= 1 +
x
1!
+ · · · +
x
n
n!
+ o(x
n
)
cos x = 1 −
x
2
2!
+ · · · + (−1)
p x
2 p
(2 p)!
+ o(x
2 p+1
)
ch x = 1 +
x
2
2!
+ · · · +
x
2 p
(2 p)!
+ o(x
2 p+1
)
sin x = x −
x
3
3!
+ · · · + (−1)
p−1 x
2 p−1
(2 p − 1)!
+ o(x
2 p
)
sh x = x +
x
3
3!
+ · · · +
x
2 p−1
(2 p − 1)!
+ o(x
2 p
)
tan x = x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ o(x
6
)
th x = x −
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+ o(x
6
)
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ · · · + (−1)
n x
n+1
n + 1
+ o(x
n+1
)
arctan x = x −
x
3
3
+
x
5
5
+ · · · +
(−1)
p
2 p + 1
x
2 p+1
+ o(x
2 p+2
)
arcsin x = x +
1
6
x
3
+
3
40
x
5
+ o(x
6
) arccos x =
π
2
− x −
1
6
x
3
−
3
40
x
5
+ o(x
6
)
• Opérations sur les développements limités
Considérons deux fonctions f et g admettant des développements limités de même
ordre n au voisinage de 0, de parties régulières respectives A n et B n .
Combinaison linéaire
Si λ et µ sont des réels, alors λ f + µg admet un développement limité au voisinage de 0 dont la partie régulière est λA n + µB n .
Produit
f g admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière est formée des termes de degré inférieur ou égal à n du produit A n B n .
Quotient
Si B n (0) = / 0 (soit g(0) = / 0),
f
g
admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, dont la partie régulière est obtenue à partir de A n (x) ×
1
B n (x)
en utilisant le développement limité de
1
1 + u
au voisinage de 0.