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F I C H E 1 4 – F o r m u l e s d e Ta y l o r
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• Développements limités
Soit f une fonction définie au voisinage de x 0 . On dit que f admet un développement
limité d'ordre n au voisinage de x 0 , s'il existe une fonction polynôme P n de degré
inférieur ou égal à n, et une fonction ε, définies au voisinage de x 0 telles que :
f (x) = P n (x) + (x − x 0 )
n ε(x) avec lim
x→x 0
ε(x) = 0 .
P n (x) est la partie régulière et (x − x 0 )
n ε(x) le reste.
En posant x = x 0 + t , on peut toujours se ramener au voisinage de t = 0.
• Propriétés des développements limités
Troncature
Si f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 dont la partie régulière est P n (x) =
n
k=0
a k x
k et si p n, alors f admet un développement limité
d'ordre p au voisinage de 0 dont la partie régulière est P p (x) =
p
k=0
a k x
k .
Unicité
Si f possède un développement limité d'ordre n au voisinage de 0, il est unique.
Parité
Soit f une fonction admettant un développement limité d'ordre n au voisinage de 0,
de partie régulière P n (x) =
n
k=0
a k x
k .
Si f est paire (resp. impaire), alors les
coefficients a k d'indice impair (resp. pair) sont nuls.
• Développements limités de base
(1 + x) α = 1 + α
x
1!
+ · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1)
x
n
n!
+ o(x
n
)
avec les cas particuliers :
α =
1
2
√
1 + x = 1 +
1
2
x −
1
8
x
2
+
1
16
x
3
+ o(x
3
)
α = −1
1
1 + x
= 1 − x + x
2
+ · · · + (−1)
n x
n
+ o(x
n
)
α = −
1
2
1
√
1 + x
= 1 −
1
2
x +
3
8
x
2
−
5
16
x
3
+ o(x
3
)