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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Formules de Taylor
I Formules de Taylor à valeur globale
• Formule de Taylor avec reste intégral
Soit f une fonction de classe C
n+1 sur un intervalle I, x 0 et x des points de I. On a :
f (x) = P n (x) +
x
x 0
(x − t)
n
n!
f
(n+1)
(t) dt ,
où P n (x) = f (x 0 ) +
(x − x 0 )
1!
f
(x 0 ) + · · · +
(x − x 0 )
n
n!
f
(n)
(x 0 )
est l'approximation de Taylor à l'ordre n ;
et R n (x) =
x
x 0
(x − t)
n
n!
f
(n+1)
(t) dt est le reste intégral d'ordre n.
• Inégalité de Taylor-Lagrange
Soit f une fonction de classe C
n+1 sur I . On suppose de plus qu'il existe M n+1 > 0
tel que, pour tout x ∈ I, on ait | f
(n+1)
(x)| M n+1 .
On obtient alors la majoration du reste :
|R n (x)| M n+1
|x − x 0 |
n+1
(n + 1)!
·
II Étude locale des fonctions dérivables
• Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction dérivable sur I jusqu'à l'ordre n. Alors la fonction ε définie au
voisinage de 0 par :
f (x 0 + h) = f (x 0 ) +
h
1!
f
(x 0 ) + · · · +
h
n
n!
f
(n)
(x 0 ) + h
n ε(h)
est telle que lim
h→0
ε(h) = 0 .
Au lieu de h
n ε(h), on écrit souvent o(h
n
).
FICHE 14