A p p l i c a t i o n
Calculez lim
x→0
3x
x
t
tan 2 t
dt .
S o l u t i o n
L'intégrale est définie si 0 < |x| < π
6
·
De l'écriture
1
tan 2 t
=
cos
2 t
sin 2 t
=
1 − sin
2 t
sin 2 t
=
1
sin 2 t
− 1 , on déduit :
3x
x
t
tan 2 t
dt =
3x
x
t
sin 2 t
dt −
3x
x
t dt .
La première intégrale du second membre se calcule par parties, avec :
u(t) = t
u
(t) = 1
v
(t) =
1
sin 2 t
v(t) =
−1
tan t
d'où :
3x
x
t
sin 2 t
dt =
−t
tan t
3x
x
+
3x
x
cos t
sin t
dt =
−t
tan t
+ ln | sin t|
3x
x
.
Donc :
3x
x
t
tan 2 t
dt =
−3x
tan3x
+
x
tanx
+ ln
sin 3x
sin x
−
9x
2
2
+
x
2
2
·
Comme tan x ∼
0
x et sin x ∼
0
x , on a :
lim
x→0
−3x
tan 3x
= −1 ; lim
x→0
x
tan x
= 1 ; lim
x→0
sin 3x
sin x
= 3 .
Donc
lim
x→0
3x
x
t
tan 2 t
dt = ln 3 .
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F I C H E 1 3 – C a l c u l d e s p r i m i t i v e s
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