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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Sur un intervalle où la fonction est continue, utilisez le changement de variable
u =
4
√
1 + x 3 , pour déterminer les primitives :
4
√
1 + x 3
x
dx .
S o l u t i o n
Posons u =
4
√
1 + x 3 . On a alors u
4
= 1 + x
3 , soit
x =
3
u 4 − 1 ; dx =
1
3
(u
4
− 1)
− 2
3 4u
3 du .
Ce changement de variable donne donc :
I =
4
√
1 + x 3
x
dx =
u
3
√
u 4 − 1
1
3
(u
4
− 1)
− 2
3 4u
3 du =
4
3
u
4
u 4 − 1
du .
On a
u
4
u 4 − 1
= 1 +
1
u 4 − 1
·
La fraction rationnelle
1
u 4 − 1
a 4 pôles simples −1, 1, −i, i.
En regroupant les pôles complexes conjugués, la décomposition en éléments simples
s'écrit :
1
u 4 − 1
=
a
u − 1
+
b
u + 1
+
cu + d
u 2 + 1
avec a, b, c, d réels.
La fonction à décomposer étant paire, il résulte de l'unicité de cette décomposition que
a = −b et c = 0.
En multipliant les deux membres de l'égalité par u − 1, et en remplaçant u par 1, on
obtient a =
1
4
·
En multipliant les deux membres de l'égalité par u
2
+ 1, et en remplaçant u par i, on
obtient ci + d = −
1
2
soit c = 0 et d = −
1
2
·
En définitive :
u
4
u 4 − 1
= 1 +
1
4
1
u − 1
−
1
4
1
u + 1
−
1
2
1
u 2 + 1
·
D'où :
I =
4
3
u +
1
3
ln
u − 1
u + 1
−
2
3
arctan u + cte
où u =
4
√
1 + x 3 .