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F I C H E 1 3 – C a l c u l d e s p r i m i t i v e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
3
A p p l i c a t i o n
Déterminez les primitives
x
cos 2 x
dx .
S o l u t i o n
Connaissant une primitive de
1
cos 2 x
, on pense à l'intégration par parties :
u(x) = x
u
(x) = 1
v
(x) =
1
cos 2 x
v(x) = tan x
ce qui donne (sur un intervalle où cos x ne s'annule pas) :
x
cos 2 x
dx = x tan x −
tan x dx = x tan x + ln | cos x| + cte .
A p p l i c a t i o n
Calculez I =
π
2
0
cos x
6 − 5 sin x + sin 2 x
dx .
S o l u t i o n
La fonction à intégrer est une fonction rationnelle en sin x et cos x .
L'expression f (x) dx est invariante quand on remplace x par π − x. Dans ce cas, le
changement de variable u = sin x conduit à intégrer une fraction rationnelle. De cette
manière, on obtient :
I =
π
2
0
cos x
6 − 5 sin x + sin 2 x
dx =
1
0
1
u 2 − 5u + 6
du .
Il reste à décomposer en éléments simples :
1
u 2 − 5u + 6
=
1
(u − 2) (u − 3)
=
−1
u − 2
+
1
u − 3
pour finalement obtenir :
I =
ln
u − 3
u − 2
1
0
= ln 2 − ln
3
2
= ln
4
3
·