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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
III Primitives et fonctions rationnelles
• Primitives d'une fonction rationnelle
On décompose la fraction rationnelle en éléments simples, c'est-à-dire comme
somme de sa partie entière (polynôme dont on connaît les primitives) et des parties
polaires.
– Pour un pôle réel α, on a des fractions de la forme
a
(x − α) n = a(x − α)
−n dont
on connaît des primitives.
– Si α est un pôle non réel, alors α est aussi un pôle (puisque la fraction est réelle). En regroupant les complexes conjugués, on aboutit à des fractions de la
forme
ax + b
(x 2 + px + q) n avec p
2
− 4q < 0.
On peut en calculer des primitives comme suit (cas n = 1) :
x
a
at + b
t 2 + pt + q
dt =
a
2
x
a
2t + p
t 2 + pt + q
dt +
b −
ap
2
x
a
1
t 2 + pt + q
dt .
La première primitive se calcule en utilisant le changement de variable
u = t
2
+ pt + q .
En écrivant sous forme canonique le trinôme t
2
+ pt + q, le calcul de la deuxième primitive se ramène, après changement de variable, à :
β
α
1
1 + u 2 du =
arctan u
β
α
.
• Primitives de fractions rationnelles en sinus et cosinus
On veut déterminer
f (x) dx , où f est une fonction rationnelle en sin x et cos x .
Dans le cas où f (x) dx est invariant
– lors du changement de x en −x, on peut poser u = cos x ;
– lors du changement de x en π − x, on peut poser u = sin x ;
– lors du changement de x en π + x, on peut poser u = tan x.
Sinon, on peut toujours poser u = tan
x
2
·
Dans tous les cas, on est conduit à un calcul du type
g(u) du où g est une fonction rationnelle en u.