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F I C H E 1 3 – C a l c u l d e s p r i m i t i v e s
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• Intégration par parties
Soit u et v deux fonctions de classe C
1 sur un intervalle I , et a et b des réels de I .
On a :
b
a
u
(t) v(t) dt =
u(t) v(t)
b
a
−
b
a
u(t) v
(t) dt ,
ce qui s'écrit aussi, en terme de primitives :
u
(t) v(t) dt = u(t) v(t) −
u(t) v
(t) dt .
• Cas classiques d'utilisation
P étant un polynôme et α = / 0,
– pour
b
a
P(t) sin (αt + β) dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = sin (αt + β) ;
– pour
b
a
P(t) cos (αt + β) dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = cos (αt + β);
– pour
b
a
P(t)e
αt+β dt , on pose v(t) = P(t) et u
(t) = e
αt+β ;
– pour
b
a
P(t) ln t dt , on pose v(t) = ln t et u
(t) = P(t).
– Pour calculer I =
b
a
e
αt cos βt dt
ou J =
b
a
e
αt sin βt dt , on peut faire
deux intégrations par parties « sans changer d'avis », c'est-à-dire en posant les
deux fois v(t) = e
αt , ou les deux fois v(t) = cos βt ou sin βt .
Mais il est plus rapide d'utiliser l'exponentielle complexe :
I = Re
b
a
e
(α+iβ)t dt
= Re
e
(α+iβ)t
α + iβ
b
a
= · · ·
• Intégration par changement de variable
Soit u une fonction de classe C
1 de [α,β] dans [a,b], et f une fonction continue
sur [a,b]. Alors : β
α
f
u(t)
u
(t) dt =
u(β)
u(α)
f (x) dx .
Si, de plus, u est bijective, on a :
b
a
f (x) dx =
u
−1 (b)
u −1 (a)
f
u(t)
u
(t) dt .