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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Calcul des primitives
I Primitives d’une fonction continue
•
Définition
f étant définie sur un intervalle I , une fonction F, définie sur I , est une primitive
de f, si elle est dérivable sur I et si
∀x ∈ I
F
(x) = f (x) .
• Théorèmes
– Deux primitives de f diffèrent d'une constante. Autrement dit, si F est une primitive de f sur un intervalle I , toutes les primitives de f sur I sont de la forme :
x → F(x) + C où C est une constante quelconque.
– Si f est continue sur un intervalle I contenant a, la fonction F, définie sur I par
F(x) =
x
a
f (t) dt , est une primitive de f. C'est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
On note
f (t) dt l'une quelconque des primitives de f.
– Pour toute primitive h de f sur I , on a :
x
a
f (t) dt =
h(t)
x
a
= h(x) − h(a) .
Le calcul d'intégrales de fonctions continues se ramène donc à la recherche de
primitives.
– Pour toute fonction f de classe C
1 sur I , on a :
f (x) − f (a) =
x
a
f
(t) dt .
II Méthodes de calcul
• Linéarité
Si F et G sont des primitives respectives de f et de g sur I et k un réel, alors, sur
I , F + G est une primitive de f + g et k F une primitive de k f.
FICHE 13