Comme u n est encadré par deux expressions qui ont le même équivalent, on conclut :
u n ∼
+∞
3n
2
2 ln n
·
A p p l i c a t i o n
Soit (u n ) la suite définie pour n ∈ N
∗ par :
u n =
n
k=1
1 +
k
n
sin (2π
√
n 2 +1)
Déterminez lim
n→+∞
u n .
S o l u t i o n
Comme u n > 0, on peut considérer :
v n = ln u n =
1
2
sin
2π
n 2 + 1
n
k=1
ln
1 +
k
n
Quand n tend vers +∞ , on a :
n 2 + 1 = n
1 +
1
n 2 = n
1 +
1
2n 2 + o
1
n 2
= n +
1
2n
+ o
1
n
·
On en déduit :
sin
2π
n 2 + 1
= sin
2πn +
π
n
+ o
1
n
= sin
π
n
+ o
1
n
∼
π
n
·
On a donc
ln u n ∼
+∞
π
2n
n
k=1
ln
1 +
k
n
.
La suite de terme général v n =
1
n
n
k=1
ln
1 +
k
n
est une somme de Riemann de la
fonction continue de [ 0,1 ] dans R : x → ln(1 + x) . On a donc :
lim
n→+∞
v n =
1
0
ln (1 + x) dx =
(1 + x) ln (1 + x) − x
1
0
= 2ln 2 − 1 .
On en déduit :
lim
n→+∞
ln u n =
π
2
(2 ln 2 − 1) =
π
2
ln
4
e
puis
lim
n→+∞
u n =
4
e
π
2
.
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F I C H E 1 2 – I n t é g r a l e s d é f i n i e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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