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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
1. Montrez que la fonction f définie par f (x) =
x
lnx
est croissante sur [ e,+∞[ .
2. Déterminez un équivalent, quand n tend vers l'infini, de u n =
2n
k=n+1
k
lnk
·
S o l u t i o n
1. La fonction f est définie et dérivable sur ] 0,1 [ ∪ ] 1,+∞[, et f
(x) =
lnx − 1
ln
2 x
·
Sur ]e,+∞[, on a f
(x) > 0, et f est donc croissante.
2. Pour k 3, la monotonie de f entraîne :
∀x ∈ [k,k + 1]
f (k) f (x) f (k + 1) ,
d'où en intégrant : f (k)
k+1
k
f (x) dx f (k + 1) ,
ou encore, pour k 4 :
k
k−1
f (x) dx f (k)
k+1
k
f (x) dx .
Par addition, on en déduit pour n 3 :
2n
n
x
ln x
dx u n
2n+1
n+1
x
ln x
dx .
Ne sachant pas calculer les deux intégrales, soyons optimiste en espérant conclure à
partir d'un encadrement élargi.
Les inégalités précédentes entraînent :
1
ln (2n)
2n
n
x dx u n
1
ln (n + 1)
2n+1
n+1
x dx
soit
3n
2
2 ln (2n)
u n
3n
2
+ 2n
2 ln (n + 1)
·
Lorsque n tend vers l'infini, on a :
3n
2
2 ln (2n)
=
3n
2
2(ln 2 + ln n)
∼
∞
3n
2
2 ln n
et
3n
2
+ 2n
2 ln (n + 1)
=
3n
2
+ 2n
2(ln n + ln(1 +
1
n
))
∼
∞
3n
2
2 ln n
·