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F I C H E 1 2 – I n t é g r a l e s d é f i n i e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
1
2
A p p l i c a t i o n
Pour n ∈ N
∗ , on pose u n =
2n−1
k=0
(−1)
k
k + 1
et on considère la fonction numérique f n
définie sur R par f n (x) =
2n−1
k=0
(−1)
k x
k .
1. Déterminez lim
n→+∞
1
0
x
2n
1+x
dx .
2. Déduisez-en lim
n→+∞
u n .
S o l u t i o n
1. Sur [ 0,1], on a 0
x
2n
1 + x
x
2n . On en déduit :
0
1
0
x
2n
1 + x
dx
1
0
x
2n dx .
Comme lim
n→+∞
1
0
x
2n dx = lim
n→+∞
1
2n + 1
= 0 , on a : lim
n→+∞
1
0
x
2n
1 + x
dx = 0 .
2. Comme
x
0
f n (t) dt =
2n−1
k=0
(−1)
k
x
0
t
k dt =
2n−1
k=0
(−1)
k x
k+1
k + 1
on observe que
u n =
1
0
f n (t) dt .
D'autre part, f n (x) est la somme des 2n premiers termes de la suite géométrique de
premier terme 1 et de raison −x. Si x = / − 1 , on a donc :
f n (x) =
1 − (−x)
2n
1 + x
=
1
1 + x
−
x
2n
1 + x
·
Par conséquent :
u n =
1
0
1
1 + t
dt −
1
0
t
2n
1 + t
dt .
Vous savez déjà que
1
0
1
1 + t
dt =
ln (1 + t)
1
0
= ln 2 , et nous venons de voir que
lim
n→+∞
1
0
t
2n
1 + t
dt = 0 . La suite (u n ) est donc convergente, et lim
n→+∞
u n = ln 2 .