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A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
• Relation d'ordre
– Si a < b, et si f g sur [a,b], alors :
b
a
f (x) dx
b
a
g(x) dx .
– Si f est continue et positive sur [a,b], on a :
b
a
f (x) dx = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a,b] f (x) = 0 .
• Majoration de l'intégrale
– Valeur absolue :
Si a < b
b
a
f (x) dx
b
a
| f (x)| dx .
– Si, pour tout x ∈ [a,b] (avec a < b), on a m f (x) M, alors :
m
1
b − a
b
a
f (x) dx M .
Le nombre
1
b − a
b
a
f (x) dx est la valeur moyenne de f sur [a,b].
– Inégalité de la moyenne :
Si a < b
b
a
f (x)g(x) dx
sup
x∈[a,b]
| f (x)| ×
b
a
|g(x)| dx .
En particulier :
b
a
f (x) dx
|b − a| sup
x∈[a,b]
| f (x)|
• Sommes de Riemann
lim
n→+∞
1
n
n−1
i=0
f
i
n
=
1
0
f (x) dx
Plus généralement, si (x 0 ,. . . ,x n ) est une subdivision de [ a,b ] dont le pas tend
vers 0 quand n tend vers l'infini, et c i un point quelconque de [ x i ,x i+1 ] (le plus
souvent x i ou x i+1 ), on a alors :
lim
n→+∞
n−1
i=0
(x i+1 − x i ) f (c i ) =
b
a
f (x) dx .