• Approximation par une fonction en escalier
Soit f continue par morceaux sur [a,b].
Pour tout réel ε > 0 , il existe ϕ et ψ, fonctions en escalier sur [a,b], telles que :
ϕ f ψ
et
ψ − ϕ ε .
• Intégrale d'une fonction continue par morceaux
Soit f continue par morceaux sur [a,b]. Il existe un réel unique I tel que, pour
toutes fonctions en escalier ϕ et ψ vérifiant ϕ f ψ, on ait :
I (ϕ) I I (ψ) .
Ce nombre I s'appelle l'intégrale de f sur [a,b], et se note I ( f ), ou
b
a
f (x) dx .
Ce nombre dépend de f, de a, de b, mais pas de la variable d'intégration, notée ici
x, qui est une variable muette, ce qui signifie qu'on peut la noter par toute lettre non
retenue pour un autre usage.
Pour a < b, on pose
a
b
f (x) dx = −
b
a
f (x) dx .
• Interprétation géométrique
b
a
f (x) dx correspond à l'aire du domaine du
plan situé entre le graphe de f et l'axe des abscisses,
comptée
– positivement pour la partie située au-dessus
de l'axe des abscisses,
– négativement pour la partie située en dessous.
III Propriétés d'une intégrale
f et g sont des fonctions de R dans R, continues par morceaux sur les intervalles
considérés. Les nombres λ, µ , a, b et c sont réels.
• Linéarité
b
a
λ f (x) + µg(x)
dx = λ
b
a
f (x) dx + µ
b
a
g(x) dx .
• Relation de Chasles
b
a
f (x) dx =
c
a
f (x) dx +
b
c
f (x) dx .
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F I C H E 1 2 – I n t é g r a l e s d é f i n i e s
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1
2
a
b
+
+
–
Figure 12.1