62
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
Intégrales définies
I Intégrale d’une fonction
en escalier
• Subdivision
On appelle subdivision σ de [a,b], la donnée d'un nombre fini de points x 0 ,. . . ,x n
tels que x 0 = a, x n = b, et x 0 < x 1 < · · · < x n−1 < x n .
On note S l'ensemble de toutes les subdivisions de [a,b].
Le pas d'une subdivision (x i ) 0in est le nombre :
max
0in−1
(x i+1 − x i ).
• Fonction en escalier
Une fonction f, définie sur [a,b], est une fonction en escalier sur [a,b] s'il existe
σ ∈ S telle que f soit constante, et égale à l i , sur chaque intervalle ouvert ]x i ,x i+1 [ .
• Intégrale d'une fonction en escalier
On appelle intégrale de la fonction en escalier f, le nombre :
I ( f ) =
n−1
i=0
l i (x i+1 − x i ) noté aussi
b
a
f (t) dt .
Remarquez que le nombre I(f ) est en fait une somme d'aires de rectangles et qu'il ne
dépend pas de la valeur de f aux points x i de la subdivision.
II Intégrale d'une fonction continue
par morceaux
• Fonction continue par morceaux
Une fonction f, définie sur [a,b], est continue par morceaux sur [a,b] s'il existe
σ ∈ S telle que :
– f est continue sur chaque intervalle ouvert ]x i ,x i+1 [ ;
– f admet en tout point de la subdivision une limite à gauche et une limite à droite
finies.
FICHE 12