A p p l i c a t i o n
Étudiez la convergence de la suite définie par u 0 = 0 et la relation de récurrence :
∀n ∈ N
u n+1 =
1
1 + u n
·
S o l u t i o n
• Il s'agit d'une suite récurrente du type u n+1 = f (u n ) avec f (x) =
1
1 + x
·
À partir de u 0 = 0, on vérifie aisément par récurrence que :
∀n ∈ N
0 u n 1
Il suffit donc d'étudier les variations de f sur [0,1].
On a toujours f
(x) =
−1
(1 + x) 2 < 0. La fonction f est donc décroissante sur [0,1].
Dans ce cas, on considère les deux suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) qui sont monotones
et de sens contraire car f décroissante entraîne f ◦ f croissante.
• On a u 0 = 0, u 1 = 1 et u 2 = 0,5 . La suite (u 2n ) est donc croissante et (u 2n+1 )
décroissante.
(u 2n ) étant majorée par 1 converge vers l 1 .
(u 2n+1 ) étant minorée par 0 converge vers l 2 .
• Comme u 2(n+1) = ( f ◦ f )(u 2n ) et f ◦ f continue, l 1 vérifie :
l 1 = ( f ◦ f )(l 1 ) =
1 + l 1
2 + l 1
⇐⇒ l
2
1 + l 1 − 1 = 0
⇐⇒ l 1 =
−1 +
√
5
2
≈ 0,62 ou l 1 =
−1 −
√
5
2
≈ −1,62.
Comme on a l 1 0 , on en déduit que l 1 =
−1 +
√
5
2
·
• Pour la suite (u 2n+1 ) on passe aussi d'un terme au suivant en appliquant f ◦ f. La
limite l 2 vérifie aussi l 2 = ( f ◦ f )(l 2 ) avec l 2 0 , ce qui donne l 2 = l 1 .
• Les deux suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) étant convergentes avec la même limite, la
suite (u n ) est convergente et a pour limite :
l =
−1 +
√
5
2
·
61
F I C H E 1 1 – S u i t e s p a r t i c u l i è r e s
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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Étudiez la convergence de la suite définie par u 0 = 0 et la relation de récurrence :
∀n ∈ N
u n+1 =
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1 + u n
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S o l u t i o n
• Il s'agit d'une suite récurrente du type u n+1 = f (u n ) avec f (x) =
1
1 + x
·
À partir de u 0 = 0, on vérifie aisément par récurrence que :
∀n ∈ N
0 u n 1
Il suffit donc d'étudier les variations de f sur [0,1].
On a toujours f
(x) =
−1
(1 + x) 2 < 0. La fonction f est donc décroissante sur [0,1].
Dans ce cas, on considère les deux suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) qui sont monotones
et de sens contraire car f décroissante entraîne f ◦ f croissante.
• On a u 0 = 0, u 1 = 1 et u 2 = 0,5 . La suite (u 2n ) est donc croissante et (u 2n+1 )
décroissante.
(u 2n ) étant majorée par 1 converge vers l 1 .
(u 2n+1 ) étant minorée par 0 converge vers l 2 .
• Comme u 2(n+1) = ( f ◦ f )(u 2n ) et f ◦ f continue, l 1 vérifie :
l 1 = ( f ◦ f )(l 1 ) =
1 + l 1
2 + l 1
⇐⇒ l
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1 + l 1 − 1 = 0
⇐⇒ l 1 =
−1 +
√
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≈ 0,62 ou l 1 =
−1 −
√
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≈ −1,62.
Comme on a l 1 0 , on en déduit que l 1 =
−1 +
√
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• Pour la suite (u 2n+1 ) on passe aussi d'un terme au suivant en appliquant f ◦ f. La
limite l 2 vérifie aussi l 2 = ( f ◦ f )(l 2 ) avec l 2 0 , ce qui donne l 2 = l 1 .
• Les deux suites extraites (u 2n ) et (u 2n+1 ) étant convergentes avec la même limite, la
suite (u n ) est convergente et a pour limite :
l =
−1 +
√
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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