60
A n a l y s e e n 3 0 f i c h e s
A p p l i c a t i o n
Étudiez la convergence de la suite définie par u 0 = 0,5 et la relation de récurrence :
∀n ∈ N
u n+1 = u
2
n + 0,1875.
S o l u t i o n
Il s'agit d'une suite récurrente du type u n+1 = f (u n ) avec
f (x) = x
2
+ 0,1875.
Comme tous les u n sont positifs, il suffit d'étudier les variations de f sur [0,+∞[.
Dans ce cas, on a f
(x) = 2x 0, d'où f croissante sur [0,+∞[.
x
f'(x)
f(x)
+ ∞
+ ∞
0
+
0,1875
0,25
0,75
y
x
O
u 0
Figure 11.1
La fonction f étant croissante, la suite (u n ) est monotone.
On a u 1 = 0,4375 soit u 1 < u 0 . La suite (u n ) est donc décroissante.
Comme (u n ) est minorée, par exemple par 0,1875, (u n ) est convergente.
Soit l sa limite. La fonction f étant continue, l vérifie l'équation :
l = f (l) ⇐⇒ l
2
− l + 0,1875 = 0 ⇐⇒ l = 0,25 ou l = 0,75 .
La suite (u n ) est décroissante à partir de u 0 = 0,5 . Il est donc impossible que la limite
soit 0,75.
Donc l = 0,25.